La bottiglia di Klein

Esiste un oggetto – o forse piuttosto un concetto? – definito come “varietà differenziabile chiusa bidimensionale non orientabile” o anche “superficie chiusa non orientabile con caratteristica di Eulero 0”, noto più brevemente (ma non meno oscuramente) come bottiglia di Klein.

Il modo più semplice per farsi un’idea più precisa di cos’è una bottiglia di Klein è immaginare di prendere una normale bottiglia di plastica dell’acqua minerale e di stirarne il collo fino a che non diventa abbastanza lungo da poterlo infilare nella parete laterale e “unirlo” al fondo come se fosse un tubo; se voglio costruire una bottiglia di Klein, di conseguenza, sono costretta a tagliare la parete (per infilare il collo allungato) e il fondo della bottiglia (per “unirlo” al collo).

Una bottiglia di Klein, però, non la possiamo in verità costruire e nemmeno visualizzare, noi poveri esseri umani dotati di capacità percettive limitate a lunghezza – larghezza – altezza (il tempo lo possiamo lasciare fuori dai giochi, per questa volta). Perché una vera bottiglia di Klein, per essere costruita, non deve intersecarsi con se stessa come succede invece nel caso della bottiglia dell’acqua minerale.

Forse ci può riuscire Roger Penrose, a quanto ne so l’unico ad aver mai dichiarato pubblicamente di aver avuto una sorta di apparizione notturna di come un oggetto possa essere in uno spazio quadrimensionale – per la precisione, di come un oggetto possibile nello spazio a tre dimensioni non lo sia in quello a quattro (analogamente a questo, che è possibile disegnare su un foglio di carta ma è impossibile da costruire) Come la storia del quadrato di Flatlandia, per intenderci, solo che Roger Penrose è uno dei massimi scienziati viventi e non un quadrato che vive in un mondo piatto come la mia scrivania – che poi non è per niente piatta, dato l’affollamento di montagne di carta e altri oggetti non identificati; ma questa è un’altra storia.

La bottiglia di Klein non ha un “dentro” né un “fuori”, proprio come non ce l’hanno un rettangolo o un trapezio. Il suo essere una “varietà differenziabile bidimensionale” la classifica come una superficie, una pellicola che sembra quasi avvolgersi su se stessa e che nonostante le apparenze, pur vivendo in un universo dotato di una terza dimensione, non se ne accorge. Ha il diritto di non accorgersene.

Ecco: a volte mi sento così, senza un dentro e senza un fuori, e impercettibile.

Mi spiego meglio.

Nonostante le apparenze, pura superficie che, qualsiasi cosa possa avvolgere per un osservatore esterno situato in uno spazio di dimensione superiore, non ha né avrà mai la possibilità anche soltanto di percepire l’esistenza di un qualcos’altro da sé.

Impercettibile nel senso proprio del termine: non percepibile dai sensi degli altri esseri umani – soprattutto dalla vista ma anche dal tatto, a volte. Non percepibile nel mondo in cui vivo, troppo angusto e limitato dimensionalmente perché mi e mi si possa sentire come davvero sono.

E quando mi sento così e mi sembra di annegare, avrei tanto bisogno di un toro. Be’, sì, scusate, di un salvagente. Che poi, da un certo punto di vista, è esattamente la stessa cosa.

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AGGIORNAMENTO: chi, giunto fin qui, volesse espandere i propri orizzonti matematici, può farlo grazie al secondo carnevale della matematica (dove troverà anche il link al primo e, immagino, ai successivi)🙂

13 Responses to “La bottiglia di Klein”


  1. 1 .mau. 12 giugno 2008 alle 6:47 pm

    Beh, una bottiglia di Klein puoi sempre comprartela, se proprio vuoi🙂

  2. 2 #6 13 giugno 2008 alle 9:48 am

    Sono un paio di post che ti vedo più “dritta al sodo”.
    Monodimensionale, direi.

  3. 3 odiamore 13 giugno 2008 alle 11:36 am

    .mau.: ma io mi compro il cappellino, è fantastico!!!😀

    #6: pensi davvero? mi sa che ci devo riflettere un po’🙂 Conosco persone che a sentirsi definire “Monodimensionali” si offenderebbero – per me invece è quasi un complimento😉

  4. 4 castavita 13 giugno 2008 alle 3:15 pm

    Mi hai riportato alla mente le sensazioni di fascino che mi ispirava lo studio della topologia. Fra nastri di mobius, le citata bottiglie e l’ancora più misterioso tesseratte.
    Comunque, rimanendo in argomento, potresti sempre aggrapparti ad un altro oggetto di genere 1: una bella tazza da thé con le amiche. Per me funziona benissimo.

    Grazie!

  5. 5 ilredeire 14 giugno 2008 alle 4:06 am

    Vieni al mare, qua siamo pieni di salvagente!
    Il toro è un esemplare in via di estinzione, va salvaguardato!

  6. 6 annarita 14 giugno 2008 alle 5:41 pm

    Ciao odioamore, arrivo qui da .mau.
    Bel post! Complimenti.

    Anch’io ho subito il fascino della famosa bottiglia:

    http://lanostramatematica.splinder.com/post/16881377/Felix+Klein%2C+Dentro+La+Storia+

    A presto!
    annarita

  7. 7 Mascalzone Latino 14 giugno 2008 alle 5:59 pm

    Ma… stai cercando di descrivere la sensazione che un comune essere umano nel mondo a tre dimensioni definirebbe “essere carta da parati”? Scusa!!! Lo so, sono un po’ grezzo e poco poetico… (e perdonami anche i puntini di sospensione).
    Insisto che, tanto per rimanere in “metafora”, l’acqua (magari con una alta concentrazione di cloro, come quella di una piscina, giusto per fare un esempio a caso) è molto efficace per ridare volume, colore e visibilità alla carta da parati!

  8. 8 odiamore 14 giugno 2008 alle 10:52 pm

    Ancora per #6: ci ho pensato e, in effetti, in questi giorni mi sento un po’ spira mirabilis😉

    Castavita: grazie a te per l’ottimo il consiglio della tazza di te con le amiche – anche se la stagione mi “costringerà” a sostituirla con un bicchiere di mojito (col manico, ovviamente)😀

    Ilredeire: LOL, comunque a dire il vero ho sempre preferito i braccioli!

    annarita: grazie – e grazie per il link, che tra le altre cose mi ha fatto riflettere (un po’ troppo, temo) a lungo sulle proprietà della mia data di nascita!

    Mascalzone Latino: ci provi sempre, con ‘sta storia della piscina, ma com’è possibile? Giuro che ci vengo, e ti costringo pure a darmi lezioni. Ho come l’impressione che cinque minuti saranno sufficienti a farti passare la voglia di insistere – un po’ com’era successo con lo sci…

  9. 9 Claudio 15 giugno 2008 alle 1:51 pm

    Leggo solo ora questo blog e ho trovato interessante
    la riflessione di odiamore anche se non mi e’ molto chiara l’affermazione di Penrose che vorrei poter approfondire. Cosa significa che ha avuto una visione?

    Va bene che anche il Nobel per la chimica Kary Mullis ha ammesso tempo fa di aver fatto uso di LSD, e dunque tutto e’ possibile … :-)))

    Scherzi a parte, se per visione intende una sorta di insight, beh! sia quello che ha provato Penrose che quello che qui descritto sono portato sempre piu’ a pensare che rientri nella “normale” (si fa per dire) capacita’ umana di usare la propria capacita di astrazione, una capacita’ che ci differenzia da altri animali.

    La matematica in fondo e’ la capacita’ piu’ alta di astrazione che ci permette la nostra corteccia cerebrale.
    Pensare, come siamo in grado di fare, a oggetti che nella realta’ non esistono non e’ forse altrettanto incredibile quanto consapevolezza di non avere un dentro o un fuori, o di essere impercettibile?

    Cambiando discorso, ma neppure tanto, cosa ne pensate di questo video
    http://www.tenthdimension.com/medialinks.php
    che tenta di spiegare al profano come puo’ immaginare non 4 ma ben 10 dimensioni?

    Ora, se la decima dimensione mi e’ chiara, non sono altrettanto chiare le complesse sensazioni provate da odiamore, e’ un mio limiti: sara’ forse perche’ uomo e donna, in fondo, non sono altro ormai che due specie diverse che hanno abbandonato da secoli la loro linea evolutiva comune? :-))))

  10. 10 castavita 16 giugno 2008 alle 12:50 pm

    Il video è molto carino, ma credo che sostanzialmente immaginare ‘concretamente’ un sistema ad n+1 dimensioni (dove n è il numero di dimensioni del luogo in cui risiede l’osservatore) sia una impresa ardua.

    Non mi mi pare che maschi e femmine siano ‘due’ specie diverse destinati a percorsi divergenti. Se talune sensazioni sono più frequenti nell’animo di uno o l’altro dei due generi, dubito che la mente umana non abbia la piena capacità di commedesimarsi. Basta solo provarci.
    😉

  11. 11 odiamore 16 giugno 2008 alle 2:23 pm

    Claudio: l’ho sentito raccontare da Penrose stesso in una conferenza, e mi pare anche di averlo letto in un libro (non suo, poteva essere “C’era una volta un paradosso” di Nicholas Falletta ma non sono sicura). Per quanto riguarda il resto, sono d’accordo con Castavita😉

  12. 12 Claudio 17 giugno 2008 alle 12:09 pm

    in effetti mi sono accorto quasi subito di non avere usato il termine corretto (ma una volta schiacciato invio non e’ possibile effettuare correzioni)
    Intendevo piuttosto dire due “sottospecie” diverse:-), (esseri viventi della stessa specie ma con delle differenze minime).

    Per quanto riguarda la capacita’ di “commedesimarsi”, beh! di questo ringrazio i miei neuroni specchio :-)))

  13. 13 demi4jesus 26 giugno 2008 alle 4:13 am

    Ecco vedi, questa è la mia sindrome…
    molto spesso ho definito la mia un’invisibile presenza, come se gli altri di me riuscissero a cogliere solo un piccolissimo strato superficiale. In realtà mi son spesso domandata se non siamo noi a consentire agli altri l’ingresso nei vari stadi del nostro essere, e se non siam quindi noi a limitare la conoscenza che gli altri hanno di noi. Non ho trovato una risposta esatta, ma l’esperienza mi insegna che ci son persone che ho “invitate” nel mio mondo e non son riuscite a trovar la via ed altre capitateci per caso, a “sorpresa”. Pertanto penso sia un concorrere di fatti o forse si tratta di occasioni… (della serie la persona giusta nel posto giusto al momento giusto…)di fatto questo modo di raggiungermi, scoprirmi e intendermi è molto raro…


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